XingHuiSama の博客

给定一个二叉树的根节点 root ，和一个整数 targetSum ，求该二叉树里节点值之和等于 targetSum 的路径的数目。

路径不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。

示例 1：

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输入：root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], targetSum = 8
输出：3
解释：和等于 8 的路径有 3 条，如图所示。

示例 2：

输入：root = [5,4,8,11,null,13,4,7,2,null,null,5,1], targetSum = 22
输出：3

提示:

二叉树的节点个数的范围是 [0,1000]
-109 <= Node.val <= 109
-1000 <= targetSum <= 1000

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1. 算法核心思想

本题要求寻找二叉树中节点值之和等于 targetSum 的路径数量。路径方向必须向下，但起点和终点可以是任意节点。为了优化时间与空间复杂度，本解法采用了前缀和与回溯的思想。

前缀和（Prefix Sum）： 在树的遍历过程中，记录从根节点到当前节点的路径总和。若要求某一段子路径的节点和等于 targetSum，等价于寻找在当前路径上，是否存在一个历史前缀和，使得 当前节点前缀和 - 历史前缀和 = targetSum。
传引用与回溯（Backtracking）： 为了避免在每次递归调用时复制数组（导致空间和时间复杂度大幅增加），全局使用唯一的 vector 并通过引用（&）传递。由于左右子树的路径是相互独立的，当一条分支遍历结束，准备返回上一层时，必须将当前节点产生的前缀和从数组中移除（即状态还原/回溯），以确保不影响其他分支的计算。

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2. 代码逻辑拆解

主函数 pathSum：
- 初始化计数器 count 为 0。
- 声明存储前缀和的数组 arr。
- 关键初始化：在数组中预先压入 0。这是为了处理“从根节点开始的路径刚好等于 targetSum”的情况（即 当前前缀和 - 0 = targetSum）。
递归函数 fun1：
- 终止条件：若当前节点为空，直接返回。
- 累加前缀和：将当前节点的值累加到 sum 中，得到从根节点到当前节点的完整前缀和。
- 查找合法路径：遍历 arr 中存储的历史前缀和，若 sum - arr[i] == targetSum，说明存在一条满足条件的子路径，count 自增。
- 状态记录：将当前 sum 压入 arr，供后续的子孙节点匹配使用。
- 向下递归：继续遍历左子树和右子树。
- 回溯（状态还原）：在退出当前递归层之前，执行 arr.pop_back()，将当前节点的 sum 移出数组，保证该分支的数据不会污染其他同级或上级分支。

class Solution {
public:
    int count;
    
    int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
        count = 0;
        vector<long long> arr; 
        arr.push_back(0); 
        fun1(root, arr, 0, targetSum);
        return count;
    }

    void fun1(TreeNode* node, vector<long long>& arr, long long sum, int targetSum) {
        if (node == NULL) {
            return;
        }
        
        sum += node->val;

        // 查找是否存在符合条件的历史前缀和
        for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {
            if (sum - arr[i] == targetSum) {
                count++;
            }
        }

        // 记录当前前缀和
        arr.push_back(sum);

        // 递归遍历左右子树
        fun1(node->left, arr, sum, targetSum);
        fun1(node->right, arr, sum, targetSum);

        // 回溯：移除当前节点的前缀和，避免影响其他分支
        arr.pop_back();
    }
};

3. 复杂度分析与细节说明

时间复杂度：O(N⋅H) 其中 N 为二叉树的节点总数，H 为树的高度。遍历每个节点耗时 O(N)；在每个节点处，需要遍历长度最大为 H 的前缀和数组。对于平衡二叉树，时间复杂度为 O(NlogN)；最坏情况（树退化为链表）下为 O(N2)。
空间复杂度：O(H) 由于通过引用传递数组，未开辟额外数组空间。主要空间开销为递归调用栈的深度以及 arr 数组的长度，二者均不超过树的高度 H。

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